Je reprends et termine ici ma lecture de l’article de Turing « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision ».
Nous nous étions arrêtés la dernière fois sur la description que Turing fait de sa fameuse machine.

Théorie des machines

Turing définit ensuite les a-machines, et les c-machines, pour préciser qu’il ne s’intéressera qu’aux premières. Les a-machines sont des machines automatiques n’ayant donc nul besoin d’intervention extérieure d’un opérateur pour fonctionner. Les c-machines sont des machines à choix « dont le comportement ne dépend que partiellement de sa configuration […] un opérateur extérieur doit intervenir et faire un choix arbitraire pour que la machine puisse continuer son travail. »1

Au sein des a-machines, il y place les machines à calculer, et au sein de ces dernières, il définit enfin les machines cycliques et acycliques. Les machines cycliques sont les machines qui finissent en gros par tourner en rond, et ne sont pas en mesure de calculer un nombre réel dont les décimales sont infinies. « Une machine qui n’écrit jamais qu’un nombre fini de symboles de la première famille [cette première famille de symboles est constituée des 0 et des 1 et compose les chiffres du nombre réel à calculer] est dite cyclique. Dans le cas contraire, elle est dite acyclique. »2

Cette bipartition des machines, cycliques et acycliques, permet ainsi à Turing de redéfinir ce qu’il appelle une séquence calculable et un nombre calculable. « Une séquence est dite calculable s’il existe une machine acyclique qui la calcule. Un nombre est dit calculable s’il existe une machine acyclique qui calcule sa partie décimale. »3

Comme on l’a déjà écrit, Turing a proposé l’idée de « nombre calculable » en prenant effectivement comme champ de recherche les nombres réels. « Le point crucial était que tout ‘nombre calculable’ régi par une loi définie pouvait être calculé par une de ses machines. Ainsi il y aurait une machine capable de calculer l’expansion décimale de π, car cela ne requérait en fait qu’un ensemble de règles pour additionner, multiplier, recopier, etc.»4. Même si dans le cas de π la machine ne s’arrêtera pas, (nous sommes alors dans le cas d’une machine acyclique) étant donné que son nombre de décimale est infini. La machine peut cependant être parfaitement définie dans une table, avec un nombre fini de règles.

Turing continue son article en présentant des exemples de machines à calculer, c’est-à-dire en faisant « tourner » littéralement le fonctionnement des machines abstraites qu’il vient de nous présenter. Car d’une part, il ne faut pas oublier que la machine que Turing vient de concevoir n’est en rien une machine concrète, matérielle. C’est une machine « de papier » comme l’écrira Turing lui-même, avec une mémoire infinie, ce qui est d’ailleurs matériellement impossible. C’est finalement une « Machine mathématique dont l’aspect infini introduit à tout jamais une rupture par rapport aux machines matérielles finies comme celles dont nous avons pris l’habitude d’être environnés. »5

Nulle part dans l’article Turing ne précisera comment cette machine pourrait être construite, comment s’agenceraient matériellement les différentes pièces qui pourraient la composer. C’est une « boîte noire » appelée à transformer des symboles. « Une machine de Turing est en effet une machine qui transforme des symboles d’entrée en symboles de sortie en traversant une succession d’états discrets qui sont tous définissables à l’avance. »6

D’autre part, comme le souligne encore Jean Lassègue, Turing a bien conscience que si l’on veut saisir son concept, il faut en passer par l’expérience cette fois très concrète de faire fonctionner la machine, d’effectuer soi-même les différentes étapes, c’est-à-dire finalement d’être soi-même la machine pendant le temps du calcul. « Le passage de la notion informelle de calcul à une notion formelle ‘mécanique’ s’opère par un travail du lecteur sur lui-même qui doit adopter le ‘bon’ point de vue, celui du mécanisme, pour réussir à apprécier la portée du concept présenté. »7

Cela peut ressembler à l’argument du retrait de l’échelle présenté par Wittgenstein à la fin de son Tractatus Logicus-Philosophicus (Turing rencontrera d’ailleurs le philosophe un peu plus tard dans sa vie, à Cambridge). Il n’existe pas de métalangage pour la logique, il faut s’y exercer. Pour comprendre sa machine, il faut donc jouer avec. « En conséquence, l’aspect finitaire de la procédure de calcul est rapporté à un agent mécanique de la pensée et il n’y a pas d’autre moyen de vérification de l’aspect en question que l’effectuation de celle-ci. »8

Des machines particulières aux machines universelles ou de l’infini des calculs à la finitude de la machine

Une fois ses machines définies et présentées via des exemples, Turing peut ainsi poser l’équivalence entre une séquence calculable et la description d’une machine au travers de la description de sa table d’instructions. «En fait toute séquence calculable peut être décrite au moyen d’une table de ce genre.»9.  Cette étape lui permet d’introduire l’idée essentielle de machine universelle.

En effet, jusqu’à présent, pour chaque calcul, il fallait définir une machine particulière avec sa table d’instructions permettant d’effectuer ledit calcul. La machine universelle va permettre de « calculer n’importe quelle séquence calculable. »10.  En fait, cette machine universelle décrit mécaniquement le procédé qui permet au calculateur humain de trouver la bonne machine particulière relativement au calcul particulier à effectuer. Le concept de cette machine universelle permet ainsi à Turing de cerner un peu mieux le champ même du calculable, « dans la mesure où elles [les machines universelles] réduisent tout calcul à la construction de la table d’instruction d’une seule machine. Grâce à l’usage d’une machine universelle, il devient possible de réutiliser l’intégralité des tables d’instructions d’autres machines. »11  Turing va ensuite présenter la table de fonctionnement d’une machine universelle.12

On peut ainsi concevoir que les machines de Turing particulières sont les ancêtres des futurs programmes informatiques, tandis que les machines universelles seraient les précurseurs des futurs ordinateurs capables de faire tourner des programmes.
Et c’est là que l’on observer comment Turing retrouve la démarche gödelienne à travers le fait de coder les machines particulières en leur attribuant un entier naturel, un index en somme, qui permet ainsi de « combiner en une table d’instructions de plus en plus complexe des tables d’instructions effectuant des calculs plus simples en réduisant tout calcul à n’être qu’une partie d’un calcul plus vaste. »13  La machine universelle est alors chargée de retrouver à partir de l’index, la table correspondante contenant les instructions des machines particulières, puis d’exécuter ces dernières. « Ainsi non seulement chaque calcul, de longueur arbitraire, est-il réduit au point de vue du fini mais l’infinité des calculs elle-même est aussi réduite au point de vue du fini […] »14.

Calculabilité et problème de la décision, l’Entscheidungsproblem

Turing parvient ainsi à redéfinir la notion de calculabilité. Ce n’est pas le seul mathématicien qui le fait à cette époque. Comme on l’a vu Gödel, mais aussi Church, auront produit finalement tous les trois une définition de la calculabilité équivalente. Mais l’un des intérêts de la définition de Turing, est, comme le précise Cassou-Noguès, de garder un lien évident avec la notion intuitive de calcul.

Turing l’aura cependant fait d’une manière singulière (et c’est par ailleurs cette manière singulière qui autorisera toute une somme de réflexion sur les rapports entre l’esprit et la machine), en montrant que le travail qu’effectue un calculateur humain est une succession d’étapes, une composition d’éléments qui vont s’articuler pour devenir finalement un algorithme pris en charge par son concept de machine. Comme on l’a dit, Turing ne suit pas les canons d’un article théorique classique. A travers une sorte d’opération cartésienne de division du problème, Turing écrit que « le travail du calculateur est divisé en une suite d’’opérations élémentaires’, tellement simples qu’il serait difficile de les diviser encore. »15  Il a posé désormais les bases de son concept de machine à calculer.

Il décrit en effet à présent le travail qu’effectue un calculateur humain dans les termes même de son concept de machine. « […] c’est l’état mental du calculateur et les symboles qu’il observe qui déterminent l’opération à effectuer, et en particulier le nouvel état mental dans lequel il se retrouve après exécution de ladite opération. »16

Ainsi la description du travail effectué par l’humain devient fidèle à son concept de machine, dont nous avons parlé dans l’épisode 8. La machine est ce dispositif à deux propriétés principales : 1) une machine n’a effectivement qu’un nombre fini d’états qui lui sont propres. 2) ce qu’effectue la machine à l’instant T ne dépend que de l’état de la machine à l’instant T et des données qui lui parviennent via un dispositif quelconque. Le calculateur humain est ainsi devenu une machine universelle au sens de Turing.

Il lui reste à présent à s’atteler à la seconde partie de son article, contenue dans le titre « … l’application au problème de la décision ».
Comme nous l’avons précisé, une fois défini ces a-machines, Turing avait présenté les machines cycliques et les machines acycliques, ce qui lui avait permis de redéfinir la calculabilité en fonction des machines acycliques. Le problème de la décision autrement nommé, problème de l’arrêt, peut ainsi s’énoncer de cette manière : « peut-on savoir à l’avance si tout calcul aura ou non une fin ? »17

Et Turing va y répondre par la négative en démontrant qu’une fois que l’on aurait produit une liste infinie des machines acycliques capables de produire les séquences calculables, c’est-à-dire de calculer la partie (infinie) décimale des nombres réels, il faudrait supposer l’existence d’une autre machine capable cette fois de « décider » elle-même si elle doit s’arrêter ou non, ce qui apparaît impossible. Turing le démontre à l’aide du formalisme de sa machine qu’il vient d’inventer.

Vous pouvez trouver ici un cours très intéressant sur la calculabilité et la complexité qui présente le modèle de la démonstration de ce problème de l’arrêt dans l’informatique :

Quelques rudiments de calculabilité et de complexité, par Paul Gastin

Cette vidéo présente ainsi ce problème d’indécidabilité au travers des limites intrinsèques de la puissance de calcul des machines informatiques.
Turing va user de la méthode diagonale que Cantor avait utilisée dans un article datant de 1891 pour démontrer que l’ensemble des nombres réels était non dénombrable.18

Turing utilise le même procédé pour s’interroger cette fois sur le caractère dénombrable des nombres calculables qu’il a cette fois lui-même redéfinis à l’aide de son concept de machine.
« On peut définir sommairement les nombres ‘calculables’ comme étant les réels dont l’expression décimale est calculable avec des moyens finis. […] Selon ma définition, un nombre est calculable si sa représentation décimale peut être décrite par une machine. »19

Reprenant l’argument de Cantor, combiné avec son concept de machine, Turing montrait qu’il pouvait ainsi exister des nombres définis, mais non calculables. Une machine universelle est en effet censée tester chaque index correspondant à une machine particulière calculant une séquence calculable, ce qui revenait à mécaniser le procédé de Cantor. Mais Turing montrait finalement qu’il était impossible de déterminer mécaniquement si une table d’instructions particulière, une machine selon son concept, allait produire une suite infinie ou non, c’est-à-dire si telle machine particulière allait boucler ou non ; autrement dit par Turing, « […] ce problème d’énumération des séquences calculables est équivalent à celui qui consiste à déterminer si un nombre donné est le ND [le Nombre Descriptif, c’est-à-dire l’entier qui désigne une machine particulière via la méthode de Gödel] d’une machine acyclique, et il n’existe pas de procédure générale pour faire cela en un nombre fini d’étapes ».20

En somme, le procédé de Cantor, la méthode de la diagonale, ne peut être mécanisé.
Comme l’écrit Guillaume Watier : « Remarquons que le théorème de l’arrêt est à l’algorithmique ce que le théorème de Gödel est à la démonstration mathématique de théorème. »21
Après les résultats de Gödel, c’est donc un nouveau coup à l’optimisme d’Hilbert, Turing montrant d’une part qu’il ne peut exister de méthode pour décider si telle ou telle assertion de l’axiomatique peut être considérée comme vraie ou fausse, et d’autre part qu’il existe des problèmes insolubles. Gödel dira que les travaux de Turing donnait ainsi une véritable définition de ce qu’était finalement un système formel « dont la propriété est qu’en son sein, et en principe, le raisonnement peut être entièrement remplacé par des règles mécaniques. »22

Comme nous l’avons dit Turing redéfinit ainsi la notion de calculabilité, comme Church et Gödel. Mais l’un des intérêts de la définition de Turing, est, comme le précise Cassou-Noguès, de « garder un lien évident avec la notion intuitive. »  Sa définition de la calculabilité en passe en effet dans cet article par une sorte de « psychologie du calcul » lors de la comparaison calculateur mécanique et calculateur humain.

Enfin, Turing vient avec son article de distinguer deux choses : la démonstration et la vérité, car il montre combien « démontrer revenait à calculer et non pas à établir la vérité d’un théorème puisque démontrabilité et vérité se trouvaient au contraire dissociés. »

Le style, c’est l’homme…

Répétons-le, même si le déploiement futur des calculateurs numériques s’origine dans les trouvailles de Turing, le problème auquel il s’est attaqué ici était un problème de mathématique pure. Et pourtant, le style de cet article théorique qui complète les travaux de Gödel reste tout à fait surprenant. On a vu combien son biographe Hodges avait noté que Turing présentait depuis son enfance différents traits d’originalité dans ses conduites, notamment sociales. Cette fois, on peut dire que l’originalité de Turing se manifeste dans le contenu dans son article : il produit un concept novateur.

Mais l’originalité se manifeste également dans la forme, c’est-à-dire sa façon de conceptualiser et de résoudre ce problème mathématique, ce que Cassou-Noguès nomme « la psychologie du calcul » de Turing. En effet, ce dernier se met à analyser le travail d’un sujet humain qui calcule, ce qu’il nomme le « computer » dans le texte original que vous pouvez trouver ici :

ON COMPUTABLE NUMBERS, WITH AN APPLICATION TO THE ENTSCHEIDUNGSPROBLEM By A. M. TURING

On peut y remarquer qu »il y a en effet deux occurrences dans le texte original où Turing compare « l’homme-qui-calcule » à « la-machine-qui-calcule » : dans sa présentation de la machine à calculer23  et dans sa discussion sur la pertinence de la notion de calculabilité24.

C’est dans la seconde que Turing va d’ailleurs définir sa notion d’ « état mental ». Il la redéfinit cependant encore une fois à l’aide d’une analogie. « Notre calculateur peut toujours interrompre sa tâche, quitter son lieu de travail et oublier tout ce qui s’y rapporte, pour revenir plus tard et reprendre son calcul là où il l’avait laissé. Pour ce faire, il doit conserver une notice où se trouvent consignées (sous une forme canonique quelconque) un certain nombre d’instructions indiquant comment  reprendre son calcul. C’est cette notice qui remplace l’état mental dont nous parlions en (I). […] »25

Conséquences …

Avec cet article, nous avons certes comme le souligne Dupuy, « les prolégomènes d’une nouvelle science de l’esprit »26, même si Turing n’en avait pas conscience bien entendu. Mais il faut se rappeler un point important par rapport aux autres directions qui seront prises dans cette nouvelle science de l’esprit et qui favoriseront la naturalisation complète du concept d’esprit, ce qui n’est pas du tout le cas de Turing.

Comme le remarque la psychanalyste Christiane Alberti, Turing « prend donc appui sur la représentation que l’on peut se donner d’un être humain en train de calculer […] »27.

Tout comme Cassou-Noguès, Alberti souligne ainsi que Turing fonde ses résultats dans l’imaginaire, et que son assertion « Un homme en train de calculer la valeur d’un nombre réel peut être comparé à une machine susceptible de se trouver dans un nombre fini d’états q1, q2, …, qR, que nous appellerons ses m-configurations » fonctionne effectivement, non pas grâce à un réductionnisme (qui associerait un état mental à un état physique) dont Turing serait le thuriféraire, mais finalement grâce à la nature de l’acte de calculer lui-même situé sur un plan logique. Turing s’intéressera quelques années plus tard à la façon de rendre concrète sa machine, avec par exemple son projet de « construire un cerveau » à la fin de la seconde guerre mondiale. Mais comme l’écrit Hodges « Pour notre mathématicien, quoi que fasse un cerveau, il le faisait en vertu de sa structuration logique et non parce qu’il se trouvait à l’intérieur d’un crâne humain ou parce qu’il était constitué de manière spongieuse composée d’une espèce particulière de formation cellulaire biologique. Sa structure logique devait parfaitement être réplicable dans un autre milieu, matérialisée par une autre espèce de mécanisme physique. C’était une conception matérialiste, qui avait le mérite de ne pas confondre les systèmes logiques et les relations avec les substances physiques et les choses elles-mêmes, selon une erreur trop souvent commise. […] Lorsqu’il parlait de ‘construire un cerveau’, il ne pensait pas que les éléments de sa machine devaient ressembler à ceux du cerveau, ni que leurs connexions devaient en imiter les différentes régions.»28

Turing nous montre ainsi simplement en quoi une partie de notre activité mentale peut être mécanisable, car l’acte de calculer opéré par un être humain peut effectivement être externalisé dans une machine. La question de savoir si toute l’activité mentale d’un être humain est calcul est une toute autre question, et semble beaucoup plus compliquée à démontrer….

Au sujet de l’autonomie de la machine, Jean Lassègue est très clair. « Croire en l’autonomie de la machine et en conséquence, à sa supériorité , conduit à une anthropomorphisation regrettable du concept de machine. »29Selon lui, même si Turing réussit cette « mise en rapport du concept de machine universelle de Turing avec la notion d’esprit humain », la machine ne peut en aucun cas produire une décision, c’est à dire être « indépendante de la pensée humaine qui l’a produite. »30

Cassou-Noguès rappelle une boutade de Lacan qui résumerait selon lui la différence entre la machine et l’homme31 dans le sens où avec Turing (et ce que l’on vient de voir au sujet de la méthode de la diagonale et du problème de l’arrêt) on pourrait dire qu’une machine de Turing ne peut établir la liste de toutes les machines de Turing.
Lacan lors de son séminaire sur les quatre concepts fondamentaux de la psychanalyse, est en train d’introduire son concept d’inconscient via les apports de Levi-Strauss. Il parle de l’enfant qui compte le nombre de ses frères et qui s’y compte, avant de s’y reconnaître dans le comptage.

 » Je prends d’abord le concept de ‘l’inconscient’. […] pour l’illustrer par quelque chose qui est matérialisé assu¬rément sur un plan scientifique, je l’illustrerai par exemple par ce champ […] qu’explore, structure, élabore et qui se montre déjà infiniment riche, ce champ que Claude Lévi-Strauss avait épinglé du titre de Pensée sauvage. Avant toute expérience, toute déduction individuelle, avant même que s’y inscrivent les expériences collectives qui ne sont rapportables qu’aux besoins sociaux, quelque chose organise ce champ, en inscrit les lignes de force initiales, qui est cette fonction que Claude Lévi-Strauss, dans sa critique du totémisme, nous montre être sa vérité, et vérité qui en réduit l’apparence, de cette fonction du totémisme, à savoir une fonction classificatoire primaire : ce quelque chose qui fait [que], avant que les relations s’organisent, qui soient des relations proprement humaines, déjà s’est organisé ce rapport d’un monde, à un autre monde de certains rapports humains qui sont déterminés par une organisation, aux termes de cette organisation qui sont pris dans tout ce que la nature peut offrir comme support, qui s’or¬ganisent dans des thèmes d’opposition. La nature, pour dire le mot, fournit des signifiants, et ces signifiants organisent de façon inaugurale les rapports humains, en donnent les structures et les modèlent.

L’important est ceci, c’est que nous voyons là le niveau où, avant toute formation du sujet (d’un sujet qui pense, qui s’y situe), ça compte, c’est compté, et dans ce compté, le compte, déjà, y est! Il a ensuite à s’y recon¬naître, et à s’y reconnaître comme comptant. Disons que l’achoppement naïf où le mesureur de niveau mental s’esbaudit de saisir le petit homme, quand il lui propose l’interrogation : «J’ai trois frères, Paul, Ernest et moi, qu’est-ce que tu penses de ça ? » — Le petit n’en pense rien pour la bonne raison, c’est que c’est tout naturel! D’abord sont comptés les trois frères Paul, Ernest et moi, et tel je suis moi, au niveau de ce qu’on avance que j’ai à réfléchir : ce moi… c’est moi! et que c’est moi qui compte.

C’est cette structure, affirmée comme initiale de l’inconscient, aux temps historiques où nous sommes de formation d’une science, d’une science qu’on peut qualifier d’humaine, mais qu’il faut bien distinguer de toute psychosociologie. D’une science dont le modèle est le jeu combi¬natoire que la linguistique nous permet de saisir dans un certain champ, opérant dans sa spontanéité et tout seul, d’une façon présubjective, c’est ce champ-là qui donne, de nos jours, son statut à l’inconscient. C’est celui-là, en tout cas, qui nous assure qu’il y a quelque chose de quali¬fiable sous ce terme qui est assurément accessible d’une façon tout à fait objectivable. »

Le débat sur l’infériorité ou la supériorité de la machine est pour Lassègue une question qui n’a que peu d’importance. Mais par contre, il estime que le résultat de Turing, mais aussi celui de Gödel, en pointant les limitations internes de l’axiomatique formelle telle que la souhaitait Hilbert, engagerait un questionnement sur les rapports entre le conscient et l’inconscient (Il pense à une sorte d’inconscient mécanique en deça de l’intuition) dans la pensée humaine, du fait de leur mise en valeur de l’impossible recouvrement total du domaine de la pensée humain par la pensée algorithmique. « Chaque processus mental mis sous forme algorithmique manifeste la présence d’une générativité algorithmique de la pensée qui suit la générativité de l’intuition comme son ombre. »32

Cela rejoint il me semble l’objet du livre de Michel Bourdeau, Pensée symbolique et intuition33 qui cherche à élaborer une théorie de l’intuition, à partir d’un cheminement philosophique sur ce qu’est d’abord la pensée symbolique et ses succès (dont le programme de Hilbert est une sorte d’exacerbation ou de tentative de la rendre hégémonique), ceci afin de mieux en cerner les limites.

Dans une intervention au colloque « Le réel en mathématiques – Psychanalyse et mathématiques », la mathématicienne, Marie-Françoise Roy, spécialiste des algorithmes de la géométrie algébrique réelle, rappelle ce que nous avons dit lors de l’épisode précédent, à savoir qu’avec l’informatique, « l’histoire du calcul entre dans une phase radicalement nouvelle. »

Elle cite également Lacan, dans son séminaire sur le moi dans la théorie de Freud et dans la technique de la psychanalyse qui a beaucoup travaillé sur la cybernétique cette année-là, parlant souvent de la différence entre l’homme et la machine, tentant d’ouvrir des pistes, mais sans jamais fermer le débat. Lacan tente d’expliquer quelque chose au sujet de la répétition, concept par lequel il introduira à celui d’inconscient dans le séminaire que nous avons déjà cité, à savoir les quatre concepts fondamentaux de la psychanalyse. Il parle de Kierkegaard et de son écrit La répétition, puis il en vient à la machine à calculer.

« Mais à la suite de ça, il nous mène sur le chemin de notre problème, à savoir, comment et pourquoi tout ce qui est d’un progrès essentiel pour l’être humain doit passer par la voie d’une répétition obstinée.
J’en viens au modèle sur lequel je veux vous laisser aujourd’hui pour vous permettre d’entrevoir ce que veut dire chez l’homme le besoin de répétition. Tout est dans l’intrusion du registre symbolique. Seulement, je vais vous l’illustrer.
C’est très important, les modèles. Non pas que ça veuille dire quelque chose-ça ne veut rien dire. Mais nous sommes comme ça – c’est notre faiblesse animale -, nous avons besoin d’images. Et, faute d’images, il arrive que des symboles ne viennent pas au jour. En général, c’est plutôt la déficience symbolique qui est grave. L’image nous vient d’une créa¬tion essentiellement symbolique, c’est-à-dire d’une machine, la plus moderne des machines, beaucoup plus dangereuse pour l’homme que la bombe atomique, la machine à calculer. »

Marie-Françoise Roy se demande ainsi quel est la nature de ce danger ? Peut-être est-ce la croyance que tout le registre qualitatif pourrait être « transféré » dans le registre du quantitatif, ce qui est une des craintes actuelles ?

Son intervention est intéressante en ce qu’elle montre le mathématicien aux prises avec cet objet qu’est l’ordinateur, dans une relation étrange, où l’homme peut produire un algorithme, le maîtriser le visualiser de l’intérieur, et rester pourtant totalement surpris, agréablement ou désagréablement d’ailleurs, des résultats que cet algorithme peut produire. « Les mathématiques accèdent alors à un véritable statut de sciences expérimentale, l’ordinateur jouant le rôle de l’appareil expérimental en physique. »34 Mais elle cite également le mathématicien et informaticien Doron Zeilberger qui prévoit que l’informatique et les ordinateurs tiendront un rôle de plus en plus important dans la création et la recherche en mathématiques, jusqu’à supplanter complètement les sujets humains.

Comme le disait Lacan, idée que reprend M-F Roy, « Dans une machine, le symbolique fonctionne tout seul. » Avec cet article, Turing s’est installé au cœur de ce symbolique mécanique pour en montrer certains rouages, mais aussi, certains de ses aspects que l’on nomme indécidables. Cette révolution n’a pas fini de produire ses effets sur nous…

1. Alan Turing, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 52
2. Alan Turing, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 53
3. Alan Turing, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 54
4. Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 94
5. Jean Lassègue, Turing, Les Belles Lettres, 1998, p. 73
6. Jean Lassègue, Turing, Les Belles Lettres, 1998, p. 75 et 76
7. Jean Lassègue, Turing, Les Belles Lettres, 1998, p. 75
8. Jean Lassègue, Turing, Les Belles Lettres, 1998, p. 75
9. Alan Turing, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 63
10. Alan Turing, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 66
11. Jean Lassègue, Turing, Les Belles Lettres, 1998, p. 81
12. Alan Turing, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 68
13. Jean Lassègue, Turing, Les Belles Lettres, 1998, p. 81
14. Jean Lassègue, Turing, Les Belles Lettres, 1998, p. 81 et 82
15. Alan Turing, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 78 et 79
16. Alan Turing, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 80
17. Jean Lassègue, Turing, Les Belles Lettres, 1998, p. 82
18. Lire à ce sujet : Argument_de_la_diagonale_de_Cantor
19. Alan Turing, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 49
20. Alan Turing, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 73
21. Guillaume Watier, Le calcul confié aux machines, Ellipses, 2001, p.57
22. Gödel cité par Lassègue, Turing, Les Belles Lettres, 1998, p. 85
23. Alan Turing, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 51
24. Alan Turing, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 78 à 84
25. Alan Turing, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p.84
26. Jean-Pierre Dupuy, Aux origines des sciences cognitives, La découverte, 1999, p.22
27. Christiane Alberti, « Alan Turing et sa A-machine : le moment de la logique », in Le traumatisme de la langue – études cliniques, Association Himeros, 2007, p. 74
28. Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 248
29. Jean Lassègue, Turing, Les Belles Lettres, 1998, p. 88
30. Jean Lassègue, Turing, Les Belles Lettres, 1998, p. 88 et 89
31. Pierre Cassou-Noguès, Gödel, Les Belles Lettres, 1998, p. 90
32. Jean Lassègue, Turing, Les Belles Lettres, 1998, p. 90
33. Michel Bourdeau, Pensée symbolique et intuition, PUF, 1999
34. Marie-Françoise Roy, « Le réel du calcul » in Le réel en mathématiques – Psychanalyse et mathématiques, Agalma, 2004, p. 200

Rappelons encore une fois que 2012 sera l’année anniversaire de la naissance de Turing. Et j’invite donc ceux qui ne le connaissent pas encore à lire les premiers articles que j’ai postés sur sa vie :

Alan Mathison Turing, sur les traces de l’Intelligence Artificielle : Introduction

Beaucoup d’hommages auront assurément lieu. Citons par exemple celui-ci, car il concerne un autre domaine qui m’importe, à savoir la place grandissante des machines et des robots dans nos vies :

Un robot pourrait porter la flamme olympique

Ainsi donc, cet article de Turing, écrit en 1936, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision », s’inscrit dans les travaux de recherches sur la théorie des fonctions calculables, et plus largement comme nous l’avons vu, dans les recherches autour du programme de Hilbert. Encore une fois, je ne pourrai entrer dans les détails des démonstrations de Turing du fait de mes propres limitations et lacunes en Mathématiques.

Pour lire l’article en anglais : ON COMPUTABLE NUMBERS, WITH AN APPLICATION TO THE ENTSCHEIDUNGSPROBLEM

Nous avions vu que Turing s’était intéressé à la physique et surtout à la chimie. Des disciplines où la notion de déterminisme est importante.

La psychanalyste Christiane Alberti nous rappelle dans un article très intéressant « Alan Turing et sa A-machine : le moment de la logique » que Turing s’était senti porter vers « un questionnement sur la cohérence logique de la théorie mais aussi sur la signification de la notion de vérité absolue. »[1] Nous avions effectivement vu avec son biographe Hodges que Turing avait découvert en 1933 avec grand intérêt les écrits de John von Neumann sur la mécanique quantique (Les fondements mathématiques de la mécanique quantique). Il avait probablement déjà lu également les ouvrages de Schrödinger et de Heisenberg. Et il semble que l’intérêt de Turing ait été stimulé durant cette période par le fait que von Neumann « travaillait sur la cohérence logique de la théorie et non sur ses résultats expérimentaux. » La même année, Turing avait également lu l’ouvrage de Russel, Introduction à la philosophie mathématique. Cela lui avait permis d’approcher le problème de la signification de la vérité, à partir du moment où « les mathématiques devaient être considérés comme un jeu soumis à des règles arbitraires dans le maniement de ses symboles […] »[2].

On peut rapprocher la question du déterminisme en mathématiques du problème dit de la décidabilité dans un système formel (un système tel que l’arithmétique de Peano). Ce problème peut s’énoncer comme le fait d’être capable de savoir si telle assertion (tel théorème) ou sa négation peuvent être démontrées (ou encore dérivées) au sein de ce système formel. S’inscrivant dans le programme de Hilbert, et au courant des résultats de Gödel via les enseignements du mathématicien Newman, Turing va finalement réussir avec à sa découverte, à « abstraire cette qualité d’être déterminé pour l’appliquer à la manipulation de symboles. »

Retour sur Gödel…

Dans l’épisode précédent, j’ai cherché à montrer comment le problème de Hilbert concernant la décision (le fameux dixième problème de Hilbert en 1900, qui concernait la décision des équations diophantiennes) pouvait être compris comme la recherche d’un algorithme. J’ai également cherché à montrer comment ce problème de la décision s’était articulé au problème dit de la calculabilité, tout d’abord avec les résultats de Gödel.

Avec Gödel, on peut énoncer que si un système formel (tel qu’il serait capable de formaliser l’arithmétique des entiers, comme celui de Peano donc) est cohérent ou consistant (autrement dit, sans contradiction), alors il existe au moins un énoncé dans ce système tel qu’il n’est pas possible de le dériver dans ce système. Le système est donc dit incomplet. Il y existe un reste qui échappe à la démonstration au sein de ce système formel.

Puis, l’on peut également dire que si ce système formel (toujours comme celui de l’arithmétique de Peano) est cohérent (c’est-à-dire encore une fois, que l’on ne peut y démontrer une proposition P et sa négation non-P), et que si l’on y applique le premier résultat, à savoir qu’il existe au moins une proposition impossible à démontrer (c’est-à-dire à dériver des axiomes) alors la proposition au sein de ce système formel qui démontrerait la cohérence de ce dernier est impossible à dériver au sein de ce même système.

« Grossièrement, le théorème d’incomplétude affirme que tout langage consistant, susceptible d’être compris par une machine et suffisamment riche pour exprimer les nombres entiers avec les opérations d’addition et de multiplication, permet de formuler des propositions indécidables, qui ne sont ni démontrables, ni réfutables dans ce langage, des propositions que l’on sait devoir être vraies bien que l’on ne puisse pas les démontrer dans ce langage. De ce premier théorème, on déduit qu’il est impossible d’établir la consistance, la non-contradiction, d’un tel langage au moyen de raisonnements qui pourraient s’exprimer dans ce langage. »[3]

En d’autres termes, il n’est pas possible de démontrer la complétude d’un système formel consistant, à l’intérieur de ce même système. Et en vertu de ce résultat, il n’est pas possible de prouver, toujours à l’intérieur de ce même système formel consistant, sa propre consistance. Par exemple, au sein de ce système formel qu’est l’arithmétique de Peano, il n’est pas possible de déduire syntaxiquement des axiomes posés au départ (c’est-à-dire de dériver simplement de ces axiomes) l’ensemble des propositions vraies.

Pour arriver à ses fins, Gödel s’est proposé d’« arithmétiser la syntaxe ». C’est un point important de la démonstration de Gödel, et Turing va emprunter cette même démarche. Gödel se propose en effet de coder les formules du système formel sur lequel il effectue sa démonstration. « L’idée maîtresse, dans la démonstration de Gödel, est de représenter par des formules arithmétiques les propriétés métamathématiques, qui ont pour objets des formules arithmétiques. »[4]

« Il ne faut pas se méprendre sur le sens de ce résultat imposant de l’analyse de Gödel : il n’exclut pas la possibilité d’une démonstration métamathématique de la consistance de l’arithmétique. Ce qu’il exclut, c’est la possibilité de refléter cette démonstration dans les déductions formelles de l’arithmétique. »[5] Ce qui n’est pas la même chose… Ce à quoi le théorème de Gödel invite en effet, c’est à produire de nouveaux principes de démonstration étant donné que « l’on ne peut pas axiomatiser entièrement les ressources de l’intelligence humaine […] Les propositions mathématiques qui ne peuvent être établies par une déduction formelle à partir d’un ensemble donné d’axiomes peuvent l’être néanmoins par un raisonnement métamathématique non formalisé.»[6]

Rappelons que le mathématicien Alonzo Church (1903 – 1995), qui a beaucoup œuvré également concernant les bases théoriques de l’informatique, proposa une thèse (c’est-à-dire qu’il n’a pas totalement prouvé le résultat) quasiment au même moment où Turing parlait de sa découverte à Newman ; thèse que l’on appelle parfois Thèse de Church-Turing (car c’est seulement avec le concept de machine de Turing  que le concept de mécanique prend véritablement sens) et qui pose l’équation « calculable = récursif »[7]. Mais la notion de fonction récursive n’est pas simple à manier. Et c’est pourquoi elle n’aura pas la postérité des machines de Turing.

Lecture de l’article de Turing

Afin d’avancer sur une définition de la notion de calcul, Turing donne d’emblée, dès le début de son article, une définition de ce qu’est selon lui un nombre calculable : « On peut définir sommairement les nombres ‘calculables’ comme étant les réels dont l’expression décimale est calculable avec des moyens finis. […] Selon ma définition, un nombre est calculable si sa représentation décimale peut être décrite par une machine. »[8] Et il différencie les « nombres définissables » des « nombres calculables ». Selon Lassègue, « L’étude des nombres réels pour la délimitation de ce qui est accessible au calcul s’impose donc puisque l’on est assuré a priori que certains nombres réels y échapperont toujours : c’est donc au sein de cet ensemble de nombres qu’il sera le plus facile de tracer des limites à la calculabilité. »[9]

En fonction de cette première définition, Turing va introduire dans son article sa notion de machine à calculer, via l’analogie suivante : « Un homme en train de calculer la valeur d’un nombre réel peut être comparé à une machine susceptible de se trouver dans un nombre fini d’états q1, q2, …, qR, que nous appellerons ses m-configurations ». C’est un point extrêmement important car Turing imagine donc ici que l’esprit humain peut être décrit dans les termes d’une machine. Cela n’est pas rien. Il fait appel à l’imaginaire de son époque.

Qu’est-ce que cela veut dire ? D’une part, que Turing commence par nous emmener finalement assez loin d’une démonstration logique. Il le dit lui-même. Il pose d’emblée sa thèse et l’analogie censée la démontrer, et dit ensuite qu’il va détailler le fonctionnement de ses machines pour défendre son point de vue sur ce qu’est un nombre calculable. Il reprendra son analogie calculateur humain un peu plus loin dans son article comme on va le voir.

Comme le dit ailleurs Pierre Cassou-Noguès dans son « histoire de machines, de vampires et de fous », l’article de Turing finit par nous donner une définition de la calculabilité comme « résultat logique fondé dans l’imaginaire. »[10] Qu’est-ce qu’une machine finalement ? C’est un dispositif avec deux propriétés principales : 1) une machine n’a effectivement qu’un nombre fini d’états qui lui sont propres. Et c’est pourquoi la machine de Turing est équivalente à la table de fonctionnement de la dite machine. 2) ce qu’effectue la machine à l’instant T, ne dépend que de l’état de la machine à l’instant T (son qR dans les termes de Turing) et des données qui lui parviennent via un dispositif quelconque. (Dans la machine de Turing, inspiré de la machine à écrire comme on le verra plus loin, ce sera le ruban découpé en cases contenant des symboles à déchiffrer. Dans le cas d’un ordinateur, ce sera un humain qui tape sur son clavier. On peut remarquer qu’une horloge est également une machine, mais qu’elle ne reçoit pas d’information de l’extérieur, son fonctionnement est donc entièrement déterminé par son état à l’instant T).

Aussi, dire qu’un homme en train de calculer, un calculateur humain, peut être comparé à une machine suppose que les différents états mentaux de l’esprit humain soient en nombre fini d’une part. Et d’autre part, cela suppose que cet homme n’agit qu’en fonction de son état mental à l’instant T, associé aux données extérieures qui lui parviennent par ses sens, et suppose enfin qu’il agira toujours de la même façon s’il se trouve dans tel état qR, avec les mêmes données extérieures.

Qu’un corps, ou plutôt, qu’un organisme biologique soit réductible à la notion de machine, il est possible de le concevoir. Mais concevoir que les différents états mentaux soient en nombre finis n’est pas si aisé il me semble, en raison même de l’expérience que nous avons de notre propre esprit, qui nous pousserait plutôt à concevoir celui-ci comme une expérience du continu. Enfin de quelle nature sont ces états mentaux, c’est encore une autre grande question…

Et pourtant, cette analogie nous paraît plausible d’un point de vue imaginaire. Elle fonctionne même plutôt pas mal…

Dans cette perspective, imaginaire, il serait possible à chaque instant de déterminer dans quel état (parmi un certain nombre déterminé et fini), dans quelle configuration se trouve la machine mentale. « Le couple (qn, S(r)) est appelé la configuration de la machine, et c’est donc cette configuration qui détermine l’évolution possible de la machine […] »[11] où qn désigne pour Turing l’état de sa machine à l’instant T, et S(r) le symbole inspecté par la tête de lecture de sa machine.

De la machine à écrire à la machine de Turing

Turing s’inspire de la machine à écrire, qui manipule aussi des symboles. « Qu’est-ce qui faisait qu’une machine à écrire était ‘mécanique’ ? Cela était lié au fait qu’à une action de l’opérateur correspondait de façon certaine une réponse de la machine dont on pouvait décrire à l’avance le comportement dans tous les cas de figure. […] la réponse dépendra de l’état en cours de la machine, de sa ‘configuration’, dira Alan, pensant aux positions majuscule et minuscule ; une idée qu’il reprit sous une forme plus générale.»[12]

Le modèle de la machine à écrire apparaît cependant trop limité, notamment à cause du fait que la machine à écrire ne peut qu’écrire et non lire des symboles. Sa machine doit être capable d’écrire (write), mais aussi de lire (d’inspecter dans ses termes : scan), d’effacer (delete), et enfin de se déplacer à gauche ou à droite.

Turing reprend ainsi du fonctionnement de la machine à écrire le fait que sur cette dernière on ne peut effectuer qu’un nombre fini d’opérations, et que l’on peut dresser « un compte rendu détaillé et définitif du comportement intégral de la machine. »[13] Autre élément important, sa machine reprend l’idée du déplacement du point de frappe sur la page. Il simplifia ce point en imaginant « des machines n’opérant que sur une seule ligne d’écriture. […] Dans son idée, le point de frappe de sa super-machine à écrire pouvait se déplacer indéfiniment vers la gauche ou la droite. »[14] Le ruban de papier, support de cette ligne d’écriture, sera pensé comme infini, mais également divisé en cases. On peut également imaginer que ce soit le ruban qui se déplace et non la tête d’écriture/lecture.

A chaque étape, son fonctionnement est donc déterminé par sa configuration du moment, son état, ainsi que par le symbole déchiffré, lu, par la tête de lecture de la machine. C’est ce qu’il appelle le couple (qn, S(r)), encore appelé la configuration de la machine. Une table de fonctionnement peut être écrite, qui définira complétement la machine. « D’un point de vue abstrait, la table était la machine elle-même. »[15]

L’idée est donc que sa machine doit être entièrement automatisée, sans qu’un opérateur n’ait à agir ou prendre de décision, et qu’elle devait être en mesure de déchiffrer « toute assertion mathématique qui lui serait présentée pour juger si elle était démontrable ou non. Mais il fallait impérativement que ce verdict soit rendu sans la moindre interférence avec l’intelligence, l’imagination ou le jugement humains. »[16]

Cette machine doit donc être capable de faire des additions, des multiplications, d’être finalement capable de savoir, ou plutôt de décider par exemple (c’est-à-dire de dérouler un algorithme comme on l’a vu précédemment) si un nombre est divisible par un autre, ou encore si un nombre est premier.

Les élements importants de la machine

On a donc :

-          Un ruban « avec une extrémité gauche, infini à droite, divisé en cases de même taille […] »[17]

-          Un ensemble fini de symboles, qui vont servir à la description et au fonctionnement de la machine. Ils seront imprimés sur le ruban.

-          Le ruban, qui sera donc la mémoire. Il permet de stocker temporairement les symboles, car il permet l’écriture et la lecture.

-          La tête de lecture/écriture. Elle peut rester sur place, ou se déplacer vers la gauche ou la droite. Enfin, elle peut lire ou écrire un symbole dans une case du ruban.

-          Un ensemble fini d’états sachant que « ces états permettent de distinguer plusieurs comportements possibles […] »[18]

-          « Un ensemble fini d’instructions : à chaque étape, en fonction du symbole c que la tête lit dans la case sondée et en fonction de son état courant  S, elle écrit un nouveau symbole c’ […], elle passe dans un nouvel état S’ […] et elle effectue un déplacement […] »[19]

L’idée est qu’avec cette machine, on puisse normalement simuler n’importe quel algorithme.

Mais comment ce type de machine, décrite par une table quelconque, est censé finalement résoudre le fameux problème de décidabilité d’Hilbert ?

Après avoir présenté brièvement sa machine à calculer, Turing va affirmer que les opérations que peut effectuer sa machine « englobent toutes celles qui peuvent être utilisées pour calculer la valeur d’un nombre. »[20] Et il propose ensuite de présenter sa « théorie des machines » afin de défendre ce point de vue. Son article est ainsi écrit d’une manière plutôt originale pour un article théorique en mathématique.

Nous terminerons sa lecture au prochaine épisode.

La machine de Turing est un concept. Ce n’est donc en rien le plan d’une machine concrète. Voici cependant une vidéo qui me paraît donner une figuration du concept de « machine de Turing » que vous pouvez regarder ici :

Vidéo d’une « machine de Turing« 

[1] Christiane Alberti, « Alan Turing et sa A-machine : le moment de la logique », in Le traumatisme de la langue – études cliniques, Association Himeros, 2007, p. 62

[2] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 77.

[3] Pierre Cassou-Noguès, Gödel, Les Belles Lettres, 2008, p.60

[4] Pierre Cassou-Noguès, Gödel, Les Belles Lettres, 2008, p.62

[5] Ernest Nagel, James N. Newman, « La démonstration de Gödel », in Le théorème de Gödel, p. 91

[6] Ernest Nagel, James N. Newman, « La démonstration de Gödel », in Le théorème de Gödel, p. 94

[7] Jean-Yves Girard, « La machine de Turing : de la calculabilité à la complexité », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 13.

[8] Alan Turing, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 49

[9] Jean Lassègue, Turing, Les Belles Lettres, 1998, p. 71

[10] Pierre Cassou-Noguès, Une histoire de machines, de vampires et de fous, Vrin, 2007, p.160

[11] Alan Turing, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 51

[12] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 91.

[13] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 91.

[14] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 91.

[15] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 92.

[16] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 92.

[17] Jean-Yves Girard, « La machine de Turing : de la calculabilité à la complexité », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 31.

[18] Jean-Yves Girard, « La machine de Turing : de la calculabilité à la complexité », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 31

[19] Jean-Yves Girard, « La machine de Turing : de la calculabilité à la complexité », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 31 et p.32

[20] Alan Turing, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 52