Rappelons encore une fois que 2012 sera l’année anniversaire de la naissance de Turing. Et j’invite donc ceux qui ne le connaissent pas encore à lire les premiers articles que j’ai postés sur sa vie :

Alan Mathison Turing, sur les traces de l’Intelligence Artificielle : Introduction

Beaucoup d’hommages auront assurément lieu. Citons par exemple celui-ci, car il concerne un autre domaine qui m’importe, à savoir la place grandissante des machines et des robots dans nos vies :

Un robot pourrait porter la flamme olympique

Ainsi donc, cet article de Turing, écrit en 1936, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision », s’inscrit dans les travaux de recherches sur la théorie des fonctions calculables, et plus largement comme nous l’avons vu, dans les recherches autour du programme de Hilbert. Encore une fois, je ne pourrai entrer dans les détails des démonstrations de Turing du fait de mes propres limitations et lacunes en Mathématiques.

Pour lire l’article en anglais : ON COMPUTABLE NUMBERS, WITH AN APPLICATION TO THE ENTSCHEIDUNGSPROBLEM

Nous avions vu que Turing s’était intéressé à la physique et surtout à la chimie. Des disciplines où la notion de déterminisme est importante.

La psychanalyste Christiane Alberti nous rappelle dans un article très intéressant « Alan Turing et sa A-machine : le moment de la logique » que Turing s’était senti porter vers « un questionnement sur la cohérence logique de la théorie mais aussi sur la signification de la notion de vérité absolue. »[1] Nous avions effectivement vu avec son biographe Hodges que Turing avait découvert en 1933 avec grand intérêt les écrits de John von Neumann sur la mécanique quantique (Les fondements mathématiques de la mécanique quantique). Il avait probablement déjà lu également les ouvrages de Schrödinger et de Heisenberg. Et il semble que l’intérêt de Turing ait été stimulé durant cette période par le fait que von Neumann « travaillait sur la cohérence logique de la théorie et non sur ses résultats expérimentaux. » La même année, Turing avait également lu l’ouvrage de Russel, Introduction à la philosophie mathématique. Cela lui avait permis d’approcher le problème de la signification de la vérité, à partir du moment où « les mathématiques devaient être considérés comme un jeu soumis à des règles arbitraires dans le maniement de ses symboles […] »[2].

On peut rapprocher la question du déterminisme en mathématiques du problème dit de la décidabilité dans un système formel (un système tel que l’arithmétique de Peano). Ce problème peut s’énoncer comme le fait d’être capable de savoir si telle assertion (tel théorème) ou sa négation peuvent être démontrées (ou encore dérivées) au sein de ce système formel. S’inscrivant dans le programme de Hilbert, et au courant des résultats de Gödel via les enseignements du mathématicien Newman, Turing va finalement réussir avec à sa découverte, à « abstraire cette qualité d’être déterminé pour l’appliquer à la manipulation de symboles. »

Retour sur Gödel…

Dans l’épisode précédent, j’ai cherché à montrer comment le problème de Hilbert concernant la décision (le fameux dixième problème de Hilbert en 1900, qui concernait la décision des équations diophantiennes) pouvait être compris comme la recherche d’un algorithme. J’ai également cherché à montrer comment ce problème de la décision s’était articulé au problème dit de la calculabilité, tout d’abord avec les résultats de Gödel.

Avec Gödel, on peut énoncer que si un système formel (tel qu’il serait capable de formaliser l’arithmétique des entiers, comme celui de Peano donc) est cohérent ou consistant (autrement dit, sans contradiction), alors il existe au moins un énoncé dans ce système tel qu’il n’est pas possible de le dériver dans ce système. Le système est donc dit incomplet. Il y existe un reste qui échappe à la démonstration au sein de ce système formel.

Puis, l’on peut également dire que si ce système formel (toujours comme celui de l’arithmétique de Peano) est cohérent (c’est-à-dire encore une fois, que l’on ne peut y démontrer une proposition P et sa négation non-P), et que si l’on y applique le premier résultat, à savoir qu’il existe au moins une proposition impossible à démontrer (c’est-à-dire à dériver des axiomes) alors la proposition au sein de ce système formel qui démontrerait la cohérence de ce dernier est impossible à dériver au sein de ce même système.

« Grossièrement, le théorème d’incomplétude affirme que tout langage consistant, susceptible d’être compris par une machine et suffisamment riche pour exprimer les nombres entiers avec les opérations d’addition et de multiplication, permet de formuler des propositions indécidables, qui ne sont ni démontrables, ni réfutables dans ce langage, des propositions que l’on sait devoir être vraies bien que l’on ne puisse pas les démontrer dans ce langage. De ce premier théorème, on déduit qu’il est impossible d’établir la consistance, la non-contradiction, d’un tel langage au moyen de raisonnements qui pourraient s’exprimer dans ce langage. »[3]

En d’autres termes, il n’est pas possible de démontrer la complétude d’un système formel consistant, à l’intérieur de ce même système. Et en vertu de ce résultat, il n’est pas possible de prouver, toujours à l’intérieur de ce même système formel consistant, sa propre consistance. Par exemple, au sein de ce système formel qu’est l’arithmétique de Peano, il n’est pas possible de déduire syntaxiquement des axiomes posés au départ (c’est-à-dire de dériver simplement de ces axiomes) l’ensemble des propositions vraies.

Pour arriver à ses fins, Gödel s’est proposé d’« arithmétiser la syntaxe ». C’est un point important de la démonstration de Gödel, et Turing va emprunter cette même démarche. Gödel se propose en effet de coder les formules du système formel sur lequel il effectue sa démonstration. « L’idée maîtresse, dans la démonstration de Gödel, est de représenter par des formules arithmétiques les propriétés métamathématiques, qui ont pour objets des formules arithmétiques. »[4]

« Il ne faut pas se méprendre sur le sens de ce résultat imposant de l’analyse de Gödel : il n’exclut pas la possibilité d’une démonstration métamathématique de la consistance de l’arithmétique. Ce qu’il exclut, c’est la possibilité de refléter cette démonstration dans les déductions formelles de l’arithmétique. »[5] Ce qui n’est pas la même chose… Ce à quoi le théorème de Gödel invite en effet, c’est à produire de nouveaux principes de démonstration étant donné que « l’on ne peut pas axiomatiser entièrement les ressources de l’intelligence humaine […] Les propositions mathématiques qui ne peuvent être établies par une déduction formelle à partir d’un ensemble donné d’axiomes peuvent l’être néanmoins par un raisonnement métamathématique non formalisé.»[6]

Rappelons que le mathématicien Alonzo Church (1903 – 1995), qui a beaucoup œuvré également concernant les bases théoriques de l’informatique, proposa une thèse (c’est-à-dire qu’il n’a pas totalement prouvé le résultat) quasiment au même moment où Turing parlait de sa découverte à Newman ; thèse que l’on appelle parfois Thèse de Church-Turing (car c’est seulement avec le concept de machine de Turing  que le concept de mécanique prend véritablement sens) et qui pose l’équation « calculable = récursif »[7]. Mais la notion de fonction récursive n’est pas simple à manier. Et c’est pourquoi elle n’aura pas la postérité des machines de Turing.

Lecture de l’article de Turing

Afin d’avancer sur une définition de la notion de calcul, Turing donne d’emblée, dès le début de son article, une définition de ce qu’est selon lui un nombre calculable : « On peut définir sommairement les nombres ‘calculables’ comme étant les réels dont l’expression décimale est calculable avec des moyens finis. […] Selon ma définition, un nombre est calculable si sa représentation décimale peut être décrite par une machine. »[8] Et il différencie les « nombres définissables » des « nombres calculables ». Selon Lassègue, « L’étude des nombres réels pour la délimitation de ce qui est accessible au calcul s’impose donc puisque l’on est assuré a priori que certains nombres réels y échapperont toujours : c’est donc au sein de cet ensemble de nombres qu’il sera le plus facile de tracer des limites à la calculabilité. »[9]

En fonction de cette première définition, Turing va introduire dans son article sa notion de machine à calculer, via l’analogie suivante : « Un homme en train de calculer la valeur d’un nombre réel peut être comparé à une machine susceptible de se trouver dans un nombre fini d’états q1, q2, …, qR, que nous appellerons ses m-configurations ». C’est un point extrêmement important car Turing imagine donc ici que l’esprit humain peut être décrit dans les termes d’une machine. Cela n’est pas rien. Il fait appel à l’imaginaire de son époque.

Qu’est-ce que cela veut dire ? D’une part, que Turing commence par nous emmener finalement assez loin d’une démonstration logique. Il le dit lui-même. Il pose d’emblée sa thèse et l’analogie censée la démontrer, et dit ensuite qu’il va détailler le fonctionnement de ses machines pour défendre son point de vue sur ce qu’est un nombre calculable. Il reprendra son analogie calculateur humain un peu plus loin dans son article comme on va le voir.

Comme le dit ailleurs Pierre Cassou-Noguès dans son « histoire de machines, de vampires et de fous », l’article de Turing finit par nous donner une définition de la calculabilité comme « résultat logique fondé dans l’imaginaire. »[10] Qu’est-ce qu’une machine finalement ? C’est un dispositif avec deux propriétés principales : 1) une machine n’a effectivement qu’un nombre fini d’états qui lui sont propres. Et c’est pourquoi la machine de Turing est équivalente à la table de fonctionnement de la dite machine. 2) ce qu’effectue la machine à l’instant T, ne dépend que de l’état de la machine à l’instant T (son qR dans les termes de Turing) et des données qui lui parviennent via un dispositif quelconque. (Dans la machine de Turing, inspiré de la machine à écrire comme on le verra plus loin, ce sera le ruban découpé en cases contenant des symboles à déchiffrer. Dans le cas d’un ordinateur, ce sera un humain qui tape sur son clavier. On peut remarquer qu’une horloge est également une machine, mais qu’elle ne reçoit pas d’information de l’extérieur, son fonctionnement est donc entièrement déterminé par son état à l’instant T).

Aussi, dire qu’un homme en train de calculer, un calculateur humain, peut être comparé à une machine suppose que les différents états mentaux de l’esprit humain soient en nombre fini d’une part. Et d’autre part, cela suppose que cet homme n’agit qu’en fonction de son état mental à l’instant T, associé aux données extérieures qui lui parviennent par ses sens, et suppose enfin qu’il agira toujours de la même façon s’il se trouve dans tel état qR, avec les mêmes données extérieures.

Qu’un corps, ou plutôt, qu’un organisme biologique soit réductible à la notion de machine, il est possible de le concevoir. Mais concevoir que les différents états mentaux soient en nombre finis n’est pas si aisé il me semble, en raison même de l’expérience que nous avons de notre propre esprit, qui nous pousserait plutôt à concevoir celui-ci comme une expérience du continu. Enfin de quelle nature sont ces états mentaux, c’est encore une autre grande question…

Et pourtant, cette analogie nous paraît plausible d’un point de vue imaginaire. Elle fonctionne même plutôt pas mal…

Dans cette perspective, imaginaire, il serait possible à chaque instant de déterminer dans quel état (parmi un certain nombre déterminé et fini), dans quelle configuration se trouve la machine mentale. « Le couple (qn, S(r)) est appelé la configuration de la machine, et c’est donc cette configuration qui détermine l’évolution possible de la machine […] »[11] où qn désigne pour Turing l’état de sa machine à l’instant T, et S(r) le symbole inspecté par la tête de lecture de sa machine.

De la machine à écrire à la machine de Turing

Turing s’inspire de la machine à écrire, qui manipule aussi des symboles. « Qu’est-ce qui faisait qu’une machine à écrire était ‘mécanique’ ? Cela était lié au fait qu’à une action de l’opérateur correspondait de façon certaine une réponse de la machine dont on pouvait décrire à l’avance le comportement dans tous les cas de figure. […] la réponse dépendra de l’état en cours de la machine, de sa ‘configuration’, dira Alan, pensant aux positions majuscule et minuscule ; une idée qu’il reprit sous une forme plus générale.»[12]

Le modèle de la machine à écrire apparaît cependant trop limité, notamment à cause du fait que la machine à écrire ne peut qu’écrire et non lire des symboles. Sa machine doit être capable d’écrire (write), mais aussi de lire (d’inspecter dans ses termes : scan), d’effacer (delete), et enfin de se déplacer à gauche ou à droite.

Turing reprend ainsi du fonctionnement de la machine à écrire le fait que sur cette dernière on ne peut effectuer qu’un nombre fini d’opérations, et que l’on peut dresser « un compte rendu détaillé et définitif du comportement intégral de la machine. »[13] Autre élément important, sa machine reprend l’idée du déplacement du point de frappe sur la page. Il simplifia ce point en imaginant « des machines n’opérant que sur une seule ligne d’écriture. […] Dans son idée, le point de frappe de sa super-machine à écrire pouvait se déplacer indéfiniment vers la gauche ou la droite. »[14] Le ruban de papier, support de cette ligne d’écriture, sera pensé comme infini, mais également divisé en cases. On peut également imaginer que ce soit le ruban qui se déplace et non la tête d’écriture/lecture.

A chaque étape, son fonctionnement est donc déterminé par sa configuration du moment, son état, ainsi que par le symbole déchiffré, lu, par la tête de lecture de la machine. C’est ce qu’il appelle le couple (qn, S(r)), encore appelé la configuration de la machine. Une table de fonctionnement peut être écrite, qui définira complétement la machine. « D’un point de vue abstrait, la table était la machine elle-même. »[15]

L’idée est donc que sa machine doit être entièrement automatisée, sans qu’un opérateur n’ait à agir ou prendre de décision, et qu’elle devait être en mesure de déchiffrer « toute assertion mathématique qui lui serait présentée pour juger si elle était démontrable ou non. Mais il fallait impérativement que ce verdict soit rendu sans la moindre interférence avec l’intelligence, l’imagination ou le jugement humains. »[16]

Cette machine doit donc être capable de faire des additions, des multiplications, d’être finalement capable de savoir, ou plutôt de décider par exemple (c’est-à-dire de dérouler un algorithme comme on l’a vu précédemment) si un nombre est divisible par un autre, ou encore si un nombre est premier.

Les élements importants de la machine

On a donc :

-          Un ruban « avec une extrémité gauche, infini à droite, divisé en cases de même taille […] »[17]

-          Un ensemble fini de symboles, qui vont servir à la description et au fonctionnement de la machine. Ils seront imprimés sur le ruban.

-          Le ruban, qui sera donc la mémoire. Il permet de stocker temporairement les symboles, car il permet l’écriture et la lecture.

-          La tête de lecture/écriture. Elle peut rester sur place, ou se déplacer vers la gauche ou la droite. Enfin, elle peut lire ou écrire un symbole dans une case du ruban.

-          Un ensemble fini d’états sachant que « ces états permettent de distinguer plusieurs comportements possibles […] »[18]

-          « Un ensemble fini d’instructions : à chaque étape, en fonction du symbole c que la tête lit dans la case sondée et en fonction de son état courant  S, elle écrit un nouveau symbole c’ […], elle passe dans un nouvel état S’ […] et elle effectue un déplacement […] »[19]

L’idée est qu’avec cette machine, on puisse normalement simuler n’importe quel algorithme.

Mais comment ce type de machine, décrite par une table quelconque, est censé finalement résoudre le fameux problème de décidabilité d’Hilbert ?

Après avoir présenté brièvement sa machine à calculer, Turing va affirmer que les opérations que peut effectuer sa machine « englobent toutes celles qui peuvent être utilisées pour calculer la valeur d’un nombre. »[20] Et il propose ensuite de présenter sa « théorie des machines » afin de défendre ce point de vue. Son article est ainsi écrit d’une manière plutôt originale pour un article théorique en mathématique.

Nous terminerons sa lecture au prochaine épisode.

La machine de Turing est un concept. Ce n’est donc en rien le plan d’une machine concrète. Voici cependant une vidéo qui me paraît donner une figuration du concept de « machine de Turing » que vous pouvez regarder ici :

Vidéo d’une « machine de Turing« 

[1] Christiane Alberti, « Alan Turing et sa A-machine : le moment de la logique », in Le traumatisme de la langue – études cliniques, Association Himeros, 2007, p. 62

[2] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 77.

[3] Pierre Cassou-Noguès, Gödel, Les Belles Lettres, 2008, p.60

[4] Pierre Cassou-Noguès, Gödel, Les Belles Lettres, 2008, p.62

[5] Ernest Nagel, James N. Newman, « La démonstration de Gödel », in Le théorème de Gödel, p. 91

[6] Ernest Nagel, James N. Newman, « La démonstration de Gödel », in Le théorème de Gödel, p. 94

[7] Jean-Yves Girard, « La machine de Turing : de la calculabilité à la complexité », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 13.

[8] Alan Turing, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 49

[9] Jean Lassègue, Turing, Les Belles Lettres, 1998, p. 71

[10] Pierre Cassou-Noguès, Une histoire de machines, de vampires et de fous, Vrin, 2007, p.160

[11] Alan Turing, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 51

[12] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 91.

[13] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 91.

[14] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 91.

[15] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 92.

[16] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 92.

[17] Jean-Yves Girard, « La machine de Turing : de la calculabilité à la complexité », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 31.

[18] Jean-Yves Girard, « La machine de Turing : de la calculabilité à la complexité », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 31

[19] Jean-Yves Girard, « La machine de Turing : de la calculabilité à la complexité », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 31 et p.32

[20] Alan Turing, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995, p. 52

Paris, le 22/08/2011

Dans cet épisode, on va essayer d’avancer vers l’article de 1936, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision »[1].

(Je me rends compte par ailleurs que plus j’essaie « d’avancer » vers cet article, plus j’ai l’impression d’être Achille tentant de rattraper la tortue…)

Pour ce faire, je voudrais revenir sur ce que j’ai écrit précédemment. Car en relisant ma précédente présentation du programme de Hilbert, je me suis rendu compte qu’il était aisé de finir par la concevoir de façon simplifiée.

J’ai écrit que ce que l’on nomme consistance de l’axiomatique formelle c’est le fait qu’aucune formule contradictoire ne peut y être engendrée à partir des axiomes.

Et il est vrai que, à certains moments, Hilbert a distingué deux activités, celle du mathématicien, qui raisonne principalement sur des signes, en excluant la signification, et celle du métamathématicien, qui, cette fois, réintroduit le contenu, autrement dit, le sens. « Dans cette métamathématique, à l’opposé de ce qui se fait dans les procédés de raisonnement purement formels de la mathématique proprement dite, on applique un raisonnement doué de contenu, et cela pour établir la consistance des axiomes. »[2]

Mais, comme l’écrit Girard, « Une simplification outrancière du point de vue de Hilbert nous donne : les mathématiques sont une activité purement formelle, sans plus de signification que le jeu d’échecs. Pour démontrer, nous utilisons des axiomes et de la logique, mais notre intuition de ces entités est douteuse. Il faut donc objectiver ce qui se passe, en se contentant d’analyser le jeu formel de signes sous-jacent, de façon à démontrer sa consistance c’est-à-dire le fait qu’il ne mène pas à contradiction. Cette formulation sombre immédiatement dans le ridicule : il serait en effet absurde de dire d’une part que les énoncés mathématiques n’ont aucun sens, pour d’autre part mettre l’accent sur la propriété métamathématique de consistance, qui est aussi un énoncé mathématique. »[3] Ainsi, Hilbert ne faisait que séparer de manière rigoureuse deux façons de raisonner, selon que l’on raisonnait dans le système, ou sur le système des mathématiques. Mais il est impossible d’évacuer au final l’intuition et le sens des mathématiques, y compris dans la conception hilbertienne de ces derniers.

Consistance et complétude

Une autre formulation de la consistance pourrait être de dire qu’un système formel est consistant si, de deux formules contradictoires, A et ­­­­­­­­­non-A, l’une au moins n’est pas démontrable, et qu’il n’est donc pas possible de prouver A et non-A simultanément dans ce système.

Une autre formulation de la complétude serait alors de dire qu’un système formel est complet si, de deux formules contradictoires, A et non-A, l’une au moins est démontrable, et qu’il est alors nécessaire de pouvoir prouver ou A, ou non-A, dans ce système.

Rappelons-nous qu’en 1900 Hilbert avait soumis aux mathématiciens 23 problèmes. Gottlob Frege (avec qui Hilbert avait correspondu et était justement en opposition sur la nature de ce qu’était un axiome) s’était attaqué aux fondements des mathématiques dans son livre homonyme de 1884. Il abordait le problème d’un point de vue logique, et pour lui, « l’arithmétique découlait des relations logiques entre les entités de ce monde, et dont la consistance était assurée par une relation avec la réalité. »[4]

Le second problème de Hilbert portait sur cette même consistance des « axiomes de Peano » dont il faisait dépendre toute la rigueur des mathématiques. On pourrait dire que la préhistoire de la métamathématique de Hilbert était en effet une reprise de l’axiomatique telle qu’elle avait été proposée par Euclide, puis une autre reprise portant cette fois sur la tentative de fonder l’objet nombre de manière mathématique.

Dans une autre orientation, Bertrand Russel avait introduit l’idée d’ensemble dans l’orientation théorique ouverte par Frege, notamment avec sa tentative de définir le nombre UN, comme « l’ensemble de tous les ensembles à un élément »[5]. Mais l’on connait les paradoxes qui surgissent lorsqu’on manipule ces ensembles de tous les ensembles… Russel et Alfred North Whithead (1861 – 1947) travaillèrent longuement sur leur Principia Mathematica, précisément pour élaborer certaines solutions inhérentes à l’utilisation des ensembles dans ce cadre. Il en ressortit ce que l’on appelle « la théorie des types », qui sera critiquée par Wittgenstein par ailleurs dans ses travaux de logique. Pour tente d’éviter de faire surgir ces paradoxes, Russel et Whitehead définissaient des types d’ensembles. Turing s’intéressa par ailleurs à « L’introduction à la philosophie mathématique » de Russel.

Mais c’est en 1928, alors que le programme de Hilbert était à son apogée, lors du congrès de Bologne, que Hilbert signala « quatre problèmes encore à résoudre et demandait en particulier de démontrer : la complétude sémantique du calcul des prédicats, la consistance et la complétude syntactiques de l’arithmétique formelle. »[6]

En 1930, le jeune logicien viennois Gödel apportera une réponse positive à la complétude sémantique du calcul des prédicats. Mais il allait par contre l’année suivante mettre un coup d’arrêt à l’optimisme du programme de Hilbert, en montrant les limites de la formalisation dans un mémoire devenu célèbre, et qui allait tracer la voie à des recherches sur l’indécidabilité. Nous reviendrons sur ce point un peu plus loin.

Sautons quelques années pour nous retrouver fin 1933. Sur la scène mondiale, la montée du nazisme provoque l’exil de nombreux scientifiques vers l’Angleterre et les Etats-Unis. C’est alors le déclin de la fameuse université de Göttingen, le fief de Hilbert. Einstein émigre vers Princeton. Von Neumann part également pour les Etats-Unis. Turing, sans être directement politisé, a des affinités avec le mouvement anti-fasciste. Il passe ses examens, et ses résultats lui valent une bourse de recherche au King’s College de Cambridge. Ainsi, en novembre 1934, il termine son mémoire et en mars 1935, il est reçu premier de son année. A 22 ans, il obtient alors une bourse de 300 livres par an, pendant 3 ans. Et au même moment, il publie son premier article dans le London Mathematical Society. « Il s’agissait d’une petite découverte touchant à la théorie des groupes, qu’il annonça le 4 avril à Philip Hall […] », qui est un spécialiste de la théorie des groupes. « Les recherches d’Alan complétaient un article de von Neumann […] », qui était de passage à Cambridge en avril 1935, et que Turing rencontra peut-être.

Démontrabilité

Comme je l’ai précisé en fin d’épisode 6, Kurt Gödel (1908 – 1978) s’est attaqué au programme de Hilbert, pour l’ébranler sérieusement avec son fameux article de 1931, « Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés I» (le II n’a jamais été crit). C’est sur le plan de la complétude de l’axiomatique formelle, mais également sur celui de la consistance, que Gödel travailla. Il démontra ainsi « qu’une axiomatique formelle susceptible de servir de réplique à l’arithmétique des entiers est structurellement incomplète : on peut montrer qu’il y a un « reste » arithmétique qui échappe à l’axiomatique formelle quels que soient les aménagements axiomatiques ultérieurs susceptibles de se produire. Il fallait en conclure que la démontrabilité d’un énoncé n’était pas strictement équivalente à sa vérité puisqu’un théorème (un énoncé vrai) pouvait être vrai sans être déductible des axiomes : il devenait nécessaire de dissocier la déductibilité de nature syntaxique et la vérité de nature sémantique au sein de l’axiomatique formelle.»[7]

Et, même si c’est sur un autre plan, celui de la décidabilité, que Turing va œuvrer, c’est d’une certaine manière, dans l’ombre du génial logicien Gödel, qu’il va publier son article sur la théorie des nombres calculables. Nous allons voir pourquoi.

Pour tenter d’approcher l’article de Turing, il me semble qu’il faut retracer à grands traits la notion de calcul, avant de l’articuler à celle de décidabilité (car pour résoudre le problème de la décision, tel énoncé est-il décidable, il faut finalement savoir ce qu’est un calcul), pour parler enfin de la démarche, similaire à celle de Gödel, qu’emprunta Turing (l’arithmétisation de la métamathématique). Au final, retenons le fait que « le problème de la décision est ainsi ramené à celui de savoir si une fonction est calculable. »[8]

La notion de calcul : de la fonction à l’algorithme

C’est seulement dans les années 1920 que l’on commença à s’interroger de manière approfondie sur ce qu’est cette notion de calcul, « outil de la démarche mathématique, elle n’était pas devenue objet mathématique. »[9]

Au 18^ème siècle, eu lieu l’émergence de la théorie des fonctions. Et dès lors, « la notion de calcul fut associée à la notion de fonction […] à une valeur numérique de x correspondait, par une transformation effectuée par la fonction f, une valeur  f(x).»[10].

Puis au cours du 19ème siècle, sous l’avancée des recherches en théorie des ensembles, c’est la notion de fonction qui va elle-même évoluer, « jusqu’à signifier une correspondance quelconque entre éléments d’un ensemble de départ vers un ensemble d’arrivée sans que fut envisagée une procédure effective de calcul. »[11]

Une fois cette définition de la fonction acquise, le problème va être de savoir si effectivement il existe une procédure de calcul pour telle ou telle fonction particulière. On va pouvoir ainsi définir une classe générale de fonctions, et une sous-classe qui sera celle des fonctions dites calculables, lorsque l’on peut trouver effectivement une procédure de calcul. Mais à présent, comment cerner concrètement cette sous-classe des fonctions calculables ? On retombe ainsi sur le problème de ce qu’est véritablement une « procédure de calcul ».

Et c’est à ce point que l’on peut faire entrer la notion d’algorithme. « Le terme ‘algorithme’ dérive du nom d’un mathématicien de langue arabe originaire d’Asie Centrale – Al Khowarismi – qui vivait dans cette capitale scientifique qu’était Bagdad au IXème siècle et à qui l’on doit notamment d’avoir transmis des mathématiciens indiens la numération de position et d’avoir écrit l’un des premiers traités d’algèbre […] »[12]. Un algorithme est ainsi une sorte de recette, de méthode, de procédure systématique qui nous donne « la liste d’instructions que l’on doit suivre pour réussir à atteindre un résultat après un nombre fini d’étapes. »[13]

Si vous souhaitez écouter une bonne émission sur ce sujet : http://radiofrance.saooti.com/fr/broadcast/36_Genese_dun_algorithme

Lorsqu’on manipule les propriétés de certains ensembles, du type entier naturel, et que l’on s’en tient à des cas précis, ou lorsqu’on veut rechercher les occurrences d’un nom donné dans un fichier, et répondre, soit oui, le nom s’y trouve, soit non, il ne s’y trouve pas, il n’y a pas vraiment de problème. On touche là à la question de la décision. Si l’on s’en tient à des ensembles finis, pas de problème particulier. On peut par exemple dresser des listes.

Mais si l’on commence à travailler sur des ensembles infinis, on va commencer à se heurter à certains soucis. Par exemple, si l’on veut s’assurer que certains énoncés peuvent être applicables sur tous les nombres entiers naturels, ou bien tester sur tous les noms possibles, les difficultés commencent.

Lacan et la logique de la cure selon Miller

Pour faire un parallèle avec la psychanalyse orientée par Lacan. Certains lacaniens se sont posés la question si l’ensemble des signifiants essentiels pour un sujet était un ensemble fini ou infini par exemple. En effet, si l’on voulait définir « une logique de la cure » qui tenterait de formaliser non pas la structure du sujet, mais de formaliser les transformations qui s’opèrent au sein de cette structure du sujet au cours de la cure, la question pouvait se poser. Selon Jacques-Alain Miller, le Séminaire IV de Lacan, La relation d’objet, proposerait en effet une tentative « d’utiliser le schéma L au moins pour formaliser le changement de position subjective d’un point de vue clinique. »[14] En tentant ainsi de penser les transformations dans la cure, comme des permutations de termes au sein d’un jeu de place au sein de la structure, on se trouve devant le fait qu’il faille poser au préalable un nombre fini de signifiants essentiels. La conclusion de cette logique de la cure pensée ainsi, sera alors obtenue au terme d’un certain nombre de permutations. Cette logique par permutation s’oppose à une logique linéaire, c’est-à-dire à une déduction qui démarre des prémisses pour arriver à une conclusion. Enfin, si l’on suit Miller lisant Lacan dans « L’instance de la lettre dans l’inconscient ou la raison depuis Freud » où ce dernier résume sa recherche sur le petit Hans dans son séminaire IV de la même année 1957, ce serait également une démonstration par l’absurde, et non une démonstration positive. « Lacan dit là que ‘le petit Hans […] développe, […] sous une forme mythique, toutes les permutations possibles d’un nombre limité de signifiants’. Ce que l’on obtient est la solution de l’impossible, à savoir que la démonstration qu’apporte la cure conçue à partir de la logique de la cure relève de la démonstration par l’absurde ; elle se conclut par un ‘il n’y a pas’, par un ‘ce n’est pas le cas posé dans l’hypothèse’. Telle est l’orientation fondamentale de Lacan depuis son étude de la cure du petit Hans. La transformation de l’impuissance en impossibilité, comme il le formulera dans les années soixante-dix, est déjà présente dans ce Séminaire IV. On y trouve aussi inscrite la formulation de la fin de l’analyse comme perception, subjectivation du ‘il n’y a pas de rapport sexuel’.»[15] Nous essaierons peut-être de creuser cela dans notre lecture de ce séminaire, La relation d’objet.

Mais revenons à la notion d’algorithme et à son rapport avec le calcul et le problème de la décision. Car c’est là que la notion d’algorithme est censée permettre de répondre à tous les cas possibles, et non plus au cas par cas. Soit dans le cas des entiers naturels, être capable de répondre par exemple si n est vraiment un nombre premier. D’où le fait qu’un algorithme est aussi une procédure de décision.

Dans ce cadre, et pour en revenir au problème de la décidabilité de l’axiomatique formelle, c’est la question « de savoir s’il existe une méthode algorithmique qui puisse décider si une formule quelconque est ou non déductible des axiomes de l’axiomatique formelle. »[16]

La méthode : arithmétisation de la métamathématique

Afin de s’attaquer à la complétude, ainsi qu’à la consistance de l’axiomatique formelle, Gödel avait opéré une stratégie que l’on nomme arithmétisation de l’axiomatique formelle. Et c’est la même stratégie que Turing utilisera.

En quoi cela consiste-t-il ? Nous avions montré que l’axiomatique formelle se distinguait des axiomatiques à contenu justement par le fait que la première était censée se substituer à toutes les secondes. Hilbert voulait précisément remplacer le détour par l’expérience comme preuve, par un détour qui reste interne aux mathématiques, ce qui revenait, pour tester la non-contradiction d’une axiomatique, à la remplacer par une autre axiomatique plus fondamentale, et ainsi de suite. Pour ce faire, nous avions montré que Hilbert avait distingué deux sortes d’axiomatiques. « L’axiomatique à contenu – celle qui s’était toujours pratiquée, chez Euclide pour la géométrie ou chez Peano pour l’arithmétique – et l’axiomatique formelle. » L’axiomatique formelle est alors censée offrir un espace où l’on peut répliquer les axiomatiques à contenu dont il était difficile de prouver la non-contradiction.

Mais alors pourquoi revenir à l’arithmétique ? Car « […] l’instrument de cette fidélité [entre l’axiomatique à contenu et l’axiomatique formelle] peut précisément être le nombre. […] une fois constituée l’axiomatique formelle, celle-ci peut, précisément parce qu’elle n’a plus de signification, être recodée de façon rigoureuse sous forme de nombres. L’arithmétique des entiers subit donc une double transformation : on en abstrait tout d’abord l’aspect formel au moyen d’une axiomatique sans contenu et on recode ces signes ininterprétés, simples signes sur le papier, sous forme de nombres. […] C’est par ce biais que l’axiomatique formelle peut devenir un calcul formel et qu’une passerelle peut être construite entre la théorie de la démonstration et la théorie de l’arithmétique.»[17]

Turing et la notion de calcul

A Cambridge, en 1935, Turing avait suivi les cours du mathématicien Newman, chef de fil britannique de la topologie à l’époque. Celui-ci avait suivi le congrès de Bologne de 1928, et son cours était donné dans l’esprit du programme de Hilbert. Les cours de Newman marquèrent Turing, et notamment sur la question de Hilbert concernant la démontrabilité.

En effet, « les résultats de Gödel n’éliminaient pas la possibilité qu’il existât une manière de distinguer les assertions démontrables de celles qui ne l’étaient pas. Y avaient-il une méthode définie, ou, comme le dit Newman, un procédé mécanique permettant de déterminer si une proposition mathématique était démontrable ou non ? »[18] Et c’est ce « procédé mécanique » qui va stimuler l’esprit de Turing.

Gödel avait donc arithmétisé l’axiomatique formelle en transformant les formules en nombre, et en présentant le calcul arithmétique comme la procédure qui permettait au final de décider, de démontrer. Turing allait en quelque sorte redéfinir la notion intuitive de calcul, dans le cadre de la métamathématique, en utilisant le concept de machine infinie et abstraite, et en s’attaquant au problème de la calculabilité des nombres réels. En somme, Turing proposait une autre solution que Gödel (qui dira d’ailleurs que celle de Turing est plus élégante) en apportant un concept de la calculabilité au travers de sa machine. Sa machine va permettre ainsi rendre palpable, de manière simple, ce qu’est le calcul.

Ainsi, « l’équivalent formel donné par Turing à la notion intuitive de ‘calculable par algorithme’ peut s’exprimer sous la forme suivante : toute fonction pour laquelle on a réussi à trouver un algorithme doit être calculable par une ‘machine’ d’un certain type, dite ‘de Turing’. »[19]

Conclusion sur l’indécidabilité et l’intelligence artificielle

C’est par le biais du problème de la décision que le programme de Hilbert a finalement préparé l’intelligence artificielle. « Il n’y a en effet qu’un pas de l’idée de procédure finie, explicite, effective, à celle de procédure mécanique […] »[20] Et nous verrons la prochaine fois comment Turing a pensé et conceptualisé cette idée de procédure mécanique. Mais plus précisément, j’espère avoir montré également comment peut se nouer le développement de cette métamathématique selon Hilbert, avec cette idée importante du raisonnement sur des signes, des symboles, avec le développement de cette idée de machine intelligente. Un rêve qui, en se concrétisant de manière partielle durant la seconde guerre mondiale, va finir par alimenter les rêves les plus fous…

[1] Alan Turing, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995.

[2] Hilbert, Nouvelle fondations des mathématiques, 1922, in Intuitionnisme et théorie de la démonstration, Vrin, 1992.

[3] Jean-Yves Girard, « Le champ du signe ou la faillite du réductionnisme », in Le théorème de Gödel, Ernest Nagel, James R. Newman, Kurt Gödel, Jean-Yves Girard, Seuil, 1989, p. 150 et 151.

[4] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 79.

[5] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 80.

[6] Michel Bourdeau, Pensée symbolique et intuition, PUF, 1999, p.41.

[7] Jean Lassègue, Turing, Les Belles Lettres, 1998, p. 55.

[8] Michel Bourdeau, Pensée symbolique et intuition, PUF, 1999, p.42.

[9] Jean Lassègue, Turing, Les Belles Lettres, 1998, p. 58.

[10] Jean Lassègue, Turing, Les Belles Lettres, 1998, p. 58 et p.59.

[11] Jean Lassègue, Turing, Les Belles Lettres, 1998, p. 59.

[12] Jean Lassègue, Turing, Les Belles Lettres, 1998, p. 60.

[13] Jean Lassègue, Turing, Les Belles Lettres, 1998, p. 59.

[14] Jacques-Alain Miller, « La logique de la cure du Petit Hans selon Lacan », in La Cause Freudienne n°69, p. 97.

[15] Jacques-Alain Miller, « La logique de la cure du Petit Hans selon Lacan », in La Cause Freudienne n°69, p. 99.

[16] Jean Lassègue, Turing, Les Belles Lettres, 1998, p. 61.

[17] Jean Lassègue, Turing, Les Belles Lettres, 1998, p. 57.

[18] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 88.

[19] Jean Lassègue, Turing, Les Belles Lettres, 1998, p. 70.

[20] Michel Bourdeau, Pensée symbolique et intuition, PUF, 1999, p. 40.

Paris, le 3 mai 2011.

Avant de poursuivre sur les travaux de Hilbert, nous allons continuer cette fois, sur la biographie d’Alan Turing.

Dans notre épisode 2, nous avions en effet laissé le jeune Alan, identifié à son amour perdu, Christopher Morcom, en pleine mutation, tant dans sa vie sociale, que dans ses recherches et ses désirs de travail. Nous sommes en 1930, et Alan se lia avec un jeune camarade, qui avait trois ans de moins que lui, Victor Beutell. « Comme Alan, il trainait avec lui le poids d’un chagrin secret : sa mère succombait peu à peu à la tuberculose bovine. »[1]

Avec ce nouvel ami, Alan commença également à jouer avec une activité qui prendra plus tard dans sa vie, et dans celle de son pays, une importance capitale, la cryptographie. En effet, les deux jeunes gens « passaient la majorité de leur temps à jouer avec des codes chiffrés. »[2] Alan, s’identifiant assurément toujours à Chrisopher, prit aussi du plaisir à transmettre à son tour le goût pour l’astronomie, qu’il avait hérité de sa relation avec Christopher. Enfin, Alan commença à se passionner pour l’application des formules mathématiques dans le monde physique.

Sur le plan physique, Alan ne prenait pas de plaisir aux activités sportives en équipe. Mais il découvrit par contre les joies de la course à pied. « La course lui convenait parce que c’était un exercice pur, ne nécessitant ni matériel ni connotations sociales. […] il parvint à acquérir une grande endurance à force de volonté.»[3] Cette activité physique à laquelle Alan commença à se soumettre était également un moyen pour lui de se défouler, et de se fatiguer, lui permettant ainsi de réprimer plus aisément ses envies de se masturber. « Les difficultés relatives à sa sexualité n’allaient cesser maintenant de prendre de l’importance dans sa vie – à la fois pour maîtriser les exigences du corps et pour assumer une identité affective. »[4] La course à pied devint donc de plus en plus importante, à tel point que lorsqu’il eut 36 ans, en 1948, il fut question qu’il coure tout de même le marathon aux Jeux Olympiques qui se déroulèrent en Grande-Bretagne. Enfin, Hodges raconte, selon les dires de Robin Gandy (un élève d’Alan Turing qui aurait été le seul étudiant en thèse encadré par Turing) que l’idée de la fameuse machine lui vint à l’esprit pendant l’été 1935, pendant une pause, allongé dans l’herbe pour souffler, durant une de ces longues courses à pied qu’il avait l’habitude de faire.

Turing a donc maintenant 18 ans. Et c’est le moment pour lui de tenter de décrocher une bourse pour pouvoir continuer ses études. Il s’y reprit plusieurs fois, afin d’en obtenir une du King’s college, ainsi qu’une mention à sa baccalauréat. Toujours stimulé par l’idée de poursuivre l’œuvre de Morcom, comme on l’a vu, il s’était donc mis à avoir une véritable ambition. Il remporta ainsi plusieurs prix, obtint une pension de « 50 livres par de la fondation Sherbrone […]. Il reçut également en mathématiques la médaille d’or du roi Edouard VI […]. »[5]

Le jeune Alan réussit finalement à entrer au King’s College de Cambridge, et profita de ce changement dans ses conditions de vie. Désormais, il aurait une chambre individuelle, et une plus grande liberté, même si son moral n’était pas spécialement bon. Faire ses études au King’s College lui permis ainsi de côtoyer des professeurs prestigieux, de grands mathématicien tels que G.H. Hardy, Paul Dirac, ou encore le physicien Eddington. Cela le décida de se tourner vers les mathématiques pures.

Il a alors 19 ans, et retombe amoureux du jeune et beau Kenneth Harrisson, véritable « réincarnation du défunt Christopher »[6]. Malchanceux, cet amour ne fut pas réciproque, encore une fois. Alan put cependant parler ouvertement de ses sentiments au jeune homme. Mais peu à peu, baignant dans l’atmosphère plus détendue du King’s College, Alan s’affranchit de la morale que la public school lui avait finalement inculqué. Il se mit à lire Bernard Shaw ou encore Samuel Butler. Il reprit ainsi goût à ses propres recherches, et retrouva le désir de penser par lui-même. L’année 1933, Turing s’intéressa à la politique, et s’inscrivit dans un des comités antiguerres qui s’établirent en Grande Bretagne à cette époque, et qui faisait partie d’une organisation proche des communistes, même si ses conceptions de la société comme agrégats d’individus, le rapprochaient plus « de l’individualisme démocratique prôné par J. S. Mill, que de la conception socialiste. »[7] Malgré la liberté de pensée qui régnait alors, et le fait que l’interdiction de l’homosexualité n’était pas spécialement mise en avant, Alan se heurtait tout de même au problème que lui posait sa propre homosexualité. Se pensant comme trop maladroit, trop ordinaire, il ne se sentait ni dans le camp des « athlètes », ni dans le camp des « esthètes ». « Une fois encore, Alan se retrouva prisonnier de son indépendance. King’s ne pouvait lui offrir que sa protection, il devait trouver tout seul les solutions à ses problèmes. »[8] Hodges pose plus précisément ces problèmes en termes d’identité, c’est-à-dire que rien dans la culture n’existait dans ces années qui aurait pu offrir des espaces de pensée, d’idéaux ou bien encore de modèles : « les homosexuels souffraient d’une absence d’identité. L’amour, le désir, le mariage hétérosexuels n’étaient certes pas dépourvus de problèmes et de sujets d’angoisse, mais ils se retrouvaient  dans tous les romans et chansons. Dès qu’un texte traitait de l’homosexualité, il était aussitôt rangé – pour peu qu’on en parlât – dans les genres comiques, condamnable, pathologique ou obscène. […] Conserver une personnalité intacte et cohérente plutôt que de se scinder en une façade conformiste d’un côté et en une vérité intérieure bien dissimulée de l’autre tenait du miracle.»[9]

Alan finit cependant par rencontrer un jeune homme nommé James Atkins, avec qui il eut une véritable relation d’ « amitié sexuelle agréable où ni l’un ni l’autre n’avait à feindre d’être amoureux.»[10] Alan n’était donc plus tout seul, même s’il ne cachait pas ses préférences, à un autre ami par exemple, Fred Clayton, avec qui il pouvait discuter franchement de sexualité, notamment au travers des lectures de Freud ou de Havelock Ellis. « Alan put confier à son ami combien il regrettait d’avoir été circoncis, ainsi que ses souvenirs de jeux avec le fils du jardinier (sans doute chez les Ward) qui avaient, pensait-il, décidé de sa sexualité. »[11]

Sa première année universitaire ne fut pas spécialement brillante au final.

Nous avons déjà souligné combien Turing a été marqué, un an auparavant, par ses lectures de l’astronome et physicien Eddington. Ce dernier s’était intéressé à la mécanique quantique, pour tenter d’y trouver « […] une solution au problème classique du déterminisme et du libre arbitre, de l’esprit et de la matière […] »[12]. Lorsque Christopher était mort, Alan avait écrit cette fameuse lettre sur « la nature de l’esprit » à la mère de son défunt amour. Il était en effet lui aussi travaillé par cette question du hasard et du déterminisme, dans cette sphère de l’esprit. La mécanique quantique offrait effectivement un cadre de réflexion où l’indéterminé retrouvait une place. Eddington pensait à partir d’un dualisme esprit-corps affirmé, et la mécanique quantique lui permettait de poser que l’esprit pouvait agir sur la matière. Le jeune Alan fut donc impressionné par les idées du scientifique. Un peu plus tard, il découvrit également le philosophe hégelien McTaggart, ami de Russel, qui parlait de réincarnation.

En 1933, il découvrit cette fois avec grand intérêt les écrits de John von Neumann sur la mécanique quantique (Les fondements mathématiques de la mécanique quantique). Il avait probablement déjà lu les ouvrages de Schrödinger et de Heisenberg. La manière dont von Neumann abordait la mécanique quantique était radicalement différente de celle d’Eddington. Impossible cette fois de savoir, avec von Neumann, si l’esprit pouvait contrôler en quelque façon la matière. Mais il semble que l’intérêt de Turing ait été stimulé par le fait que von Neumann « travaillait sur la cohérence logique de la théorie et non sur ses résultats expérimentaux. »[13]

La notion d’état est très importante dans la mécanique quantique, et cette dernière marque une étape définitive d’une certaine manière, le divorce entre les mathématiques pures et les sciences s’occupant d’objets physiques, qui avait déjà commencé au XIXème siècle. « La mécanique quantique montrait que l’expansion et la libération des mathématiques pures étaient fructueuses pour la physique. Il était devenu nécessaire de créer une théorie portant non pas sur des nombres et des quantités mais sur des ‘états’ […].»[14]

Ces différentes lectures semblent importantes dans la mesure où la notion d’esprit, de déterminisme à la Laplace, et d’état imprègneront l’élaboration du concept de machine auquel Turing aboutira deux ans plus tard, en 1935.

Enfin, en 1933, Turing lut également l’ouvrage de Russel, Introduction à la philosophie mathématique. Cela lui permit d’approcher le problème de la signification de la vérité, à partir du moment où « les mathématiques devaient être considérés comme un jeu soumis à des règles arbitraires dans le maniement de ses symboles […] »[15]. C’est cette crise, qui avait commencé avec la géométrie, s’était poursuivi avec l’arithmétique, et avait abouti à une remise en question des fondements des mathématiques, que nous aborderons la prochaine fois…

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Quelques liens trouvés autour de Turing :

Une pièce de théâtre a été écrite par Hugh Whitemore, à partir du livre de Hodges en 1987 : http://selectif.uqam.ca/biblio/162

Cette pièce a été adaptée en film également,  réalisé en 1996 par Herbert Wise.

« Matmos, formation électronique « branchée », rend ici un vibrant et respectueux hommage à Alan Turing, homme d’exception du XXème siècle. » : http://www.schizodoxe.com/2008/07/07/for-alan-turing-de-matmos/

[1] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 56.

[2] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 57.

[3] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 58.

[4] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 58.

[5] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 59.

[6] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 62.

[7] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 70.

[8] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 71.

[9] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 73.

[10] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 72.

[11] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 72.

[12] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 64.

[13] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 75.

[14] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 77.

[15] Andrew Hodges, Alan Turing ou l’énigme de l’intelligence, Payot, 1983, 1988, p. 77.

A l’épisode précédent, j’ai parlé de la naissance des sciences cognitives. Je voudrais ajouter quelque chose pour introduire au premier grand article de Turing[1]. Une petite digression avec Jean-Pierre Dupuy. Dans son ouvrage, Aux origines des sciences cognitives[2], Dupuy analyse les fameuses conférences Macy qui eurent lieu de 1942 à 1953[3], à l’origine de la première cybernétique, et place en première ligne Herbert Simon et Alan Newell dans les débuts de cette nouvelle science de l’esprit. Il pense par ailleurs que l’histoire de nos sciences cognitives actuelles est encore à écrire. Cette Scienza nuova aurait progressivement émergée au cours de ce vingtième siècle, lorsque les sciences de l’homme et la philosophie se sont emparées de cet objet technique bien intrigant qu’est l’ordinateur. L’objet technique lui-même. Car finalement, s’il est bien connu que « le paradigme classique en sciences cognitives s’est développé autour de la ‘métaphore de l’ordinateur’. […] les choses ont en fait commencé avant que l’ordinateur existe – ou, plus précisément, alors qu’il existait en tant qu’objet matériel technique, mais qu’on ne disposait pas encore d’une théorie fonctionnaliste de cet objet. Cette théorie qui nous est devenue si familière, par laquelle nous distinguons le ‘logiciel’ (software) du ‘matériel’ (hardware) est un produit de la révolution conceptuelle qui marque l’avènement des sciences cognitives, et non sa source. »[4] Ce que veut dire finalement Dupuy, c’est que la théorie de l’objet technique ‘ordinateur’ est elle-même issue du mouvement théorique qui a donné naissance aux sciences cognitives, à savoir la cybernétique pour lui, avec les travaux de Turing comme antécédents. Les sciences cognitives n’auraient, selon Dupuy, pas eu besoin de cette métaphore pour avancer. Dupuy situe donc finalement l’origine des sciences cognitives dans le mouvement de cette première cybernétique, qui s’organise au cours de ces conférences Macy, et présente alors les premiers travaux Turing comme les prolégomènes du mouvement cybernétique. Il présente alors l’objectif de Turing au milieu des années 30, qui était de résoudre le problème dit de la décision de Hilbert, l’Entscheidungsproblem. Hilbert avait en effet posé une liste de problèmes aux mathématiciens, lors du second congrès international des  mathématiciens qui avait eu lieu à Paris, en 1900. C’est autour du dixième problème que se situent les premiers travaux marquants de Turing.

C’est un problème que Dupuy énonce de cette façon :

« étant donné une formule quelconque du calcul des prédicats, existe-t-il un procédé systématique, général, effectif, permettant de déterminer si cette formule est démontrable ou non ? »[5]

Ce n’est pas la formulation initiale. Et pour comprendre ce qu’est ce problème de la décision, il nous faut nous attarder sur les travaux de Hilbert.

Lacan et le formalisme

Au vingtième siècle est née l’idée que l’on puisse réduire les mathématiques à un calcul de signes. C’est finalement cette idée qui a, d’une part, contribuer à rapprocher le questionnement sur les fondements des mathématiques des outils qu’apportaient de leur côté les développements de la logique, et d’autre part, qui a permis la naissance de l’informatique.

On peut se demander comment Lacan s’est inscrit dans ce siècle qui n’a finalement cessé d’interroger les fondements des disciplines scientifiques. Ne pourrait-on pas avancer que ses recherches en psychanalyse, ses tentatives de mathématiser, ou de mathèmiser, l’écriture de certains concepts, tels que le fantasme (S <> a), s’inscrivent dans une certaine mesure dans ce siècle de mise en question des fondements, et dont les premières décades particulièrement insistèrent sur le formalisme ?

Le livre Le Formalisme En Question : Le Tournant Des Années 30[6] explore par exemple cette partie de l’histoire de la logique et des sciences formelles. « La fin du logicisme, l’avènement de nouvelles logiques, le développement du formalisme, ses limitations internes, sa critique externe et les approches formelles du langage sont six traits caractéristiques explorés dans ce recueil d’articles qui font apparaître l’éloignement ainsi que la proximité des années trente et de cette fin de siècle. »[7]

Une noce de la logique et des mathématiques eut lieu au début du siècle, et même si l’intérêt de Lacan pour les mathématiques peut aussi s’expliquer par certaines autres intentions qu’il faudrait bien plus développer, il me semble que Lacan s’inscrit tout de même par là dans son siècle, avec sa discipline et l’objet propre qui la concerne. C’est particulièrement dans l’Etourdit et le séminaire XX, Encore, que Lacan parle de son rapport aux mathématiques. Ce qui ne veut pas dire qu’il n’entretenait pas de rapport avec les mathématiques bien avant.

Nathalie Charraud dans Lacan et les mathématiques[8], rappelle par exemple qu’il s’y intéresse bien avant, et y fait allusion dès ses premiers séminaires avec la théorie des jeux d’Oskar Morgenstern et John von Neumann par exemple. Mais comme le souligne Jean-Claude Milner dans l’Oeuvre claire, « Il convient de distinguer d’emblée deux questions : la question particulière du mathème, de sa fonction et de forme ; la question générale de la mathématique et de son statut. »[9] Milner y explicite l’utilisation du mathème chez Lacan, qui ressort de la place que Lacan accorde à la lettre, et montre ainsi les différences que l’on peut faire entre le signifiant, qui ne peut que représenter pour et de ce fait ne peut donc se transmettre puisqu’il échappe à toute prise, et la lettre, qui est quant à elle, dans son idéal, manipulable, saisissable, et donc transmissible.[10]

Lacan a dit dans son séminaire Encore « La formalisation mathématique est notre but, notre idéal. Pourquoi ? – parce que seule elle est mathème, c’est-à-dire capable de se transmettre intégralement. »[11] Il ajoute « La formalisation mathématique, c’est de l’écrit, mais qui ne subsiste que si j’emploie à le présenter la langue dont j’use. C’est là qu’est l’objection – nulle formalisation de la langue n’est transmissible sans l’usage de la langue elle-même. […] C’est ainsi que le symbolique ne se confond pas, loin de là, avec l’être, mais qu’il subsiste comme ex-sistence du dire. C’est ce que j’ai souligné, dans le texte dit L’Etourdit, de dire que le symbolique ne supporte que l’ex-sistence.»

Une assertion par ailleurs intéressante pour ce qu’on explore ici : « […] le symbolique ne supporte que l’ex-sistence ».

Nous reviendrons sur les rapports entre Lacan et les mathématiques une autre fois, car les raisons qui poussèrent Lacan à chercher du côté de la logique et des mathématiques nous permettront également de mieux saisir ce qu’il entend par la dimension de réel. Lacan nommait la logique comme « Science du Réel », car elle seule permettait selon lui d’étudier certaines impossibilités propres au langage, propre à la dimension du symbolique.

Retournons pour le moment à Turing. Car pour saisir les solutions que ce dernier a trouvées, il faut essayer de revenir aux problèmes qui se sont posés, et dans ce va et vient, nous avons rencontré comme point de repères les travaux de Hilbert. Pourquoi ?

C’est ce que nous verrons la prochaine fois…

[1] Alan Turing, « Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision », in La machine de Turing, Alan Turing, Jean-Yves Girard, Seuil, 1995.

[2] Jean-Pierre Dupuy, Aux origines des sciences cognitives, La découverte, 1999.

[3] http://fr.wikipedia.org/wiki/Conf%C3%A9rences_Macy

[4] Jean-Pierre Dupuy, Aux origines des sciences cognitives, La découverte, 1999, p.21.

[5] Jean-Pierre Dupuy, Aux origines des sciences cognitives, La découverte, 1999, p.22.

[6] Denis Vernant, Frédéric Nef, Le Formalisme En Question : Le Tournant Des Années 30, Vrin, 1998.

[7] http://www.vrin.fr/html/main.htm?action=loadbook&isbn=2711613399

[8] Nathalie Charraud, Lacan et les mathématiques, Anthropos-Economica, Paris, 1997.

[9] Jean-Claude Milner, l’Oeuvre claire, Seuil, 1995.

[10] Jean-Claude Milner, l’Oeuvre claire, Seuil, 1995, p.128 à 132.

[11] Lacan, Encore, Seuil, 1999, p. 150.